Chapter 2 Section 4 Question 6
Question
Let X ~ $Exponential(3)$. Compute each of the following.
  1. $P(0 < X < 1)$
  2. $P(0 < X < 3)$
  3. $P(0 < X < 5)$
  4. $P(2 < X < 5)$
  5. $P(2 < X < 10)$
  6. $P(X > 2)$
Answer
Author: Mohammad-Ali Bandzar| Date:Oct 21 2020
From example 2.4.5 in the book we know: $$p(a \leq X \leq b)=\int_{a}^b\lambda e^{-\lambda x}=(-e^{-\lambda b})-(-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b} $$ In this case $\lambda =3$
(a) $P(0 < X < 1)$
$$a=0,b=1$$ $$P(0 < X < 1)=e^{-3*0}-e^{-3*1} $$ $$P(0 < X < 1)=1-e^{-3} $$ $$P(0 < X < 1)\approx 0.95$$
(b) $P(0 < X < 3)$
$$a=0,b=3$$ $$P(0 < X < 3)=e^{-3*0}-e^{-3*3} $$ $$P(0 < X < 3)=1-e^{-9} $$ $$P(0 < X < 3)\approx 1$$
(c) $P(0 < X < 5)$
$$a=0,b=5$$ $$P(0 < X < 5)=e^{-3*0}-e^{-3*5} $$ $$P(0 < X < 5)=1-e^{-15} $$ $$P(0 < X < 5)\approx 1$$
(d) $P(2 < X < 5)$
$$a=2,b=5$$ $$P(2 < X < 5)=e^{-3*2}-e^{-3*5} $$ $$P(2 < X < 5)=e^{-6}-e^{-15} $$ $$P(2 < X < 5)\approx 0.00247845$$
(e) $P(2 < X < 10)$
$$a=2,b=10$$ $$P(2 < X < 10)=e^{-3*2}-e^{-3*10} $$ $$P(2 < X < 10)=e^{-6}-e^{-30} $$ $$P(2 < X < 10)\approx 0.00247875$$
(f) $P(X > 2)$
From example 2.4.5 in the book we know: $$P(X\geq x)=\int_{x}^{\infty} \lambda e^{-\lambda z}dz=e^{-\lambda x}$$ $$\lambda=3$$ $$P(X > 2)=e^{-3*2}$$ $$P(X > 2)=e^{-6}$$ $$P(X > 2)\approx 0.00247875$$